Jika diketahui \( {}^a \! \log b + ( {}^a \! \log b )^2 + ( {}^a \! \log b )^3 + \cdots = 2 \), maka \( {}^a \! \log b + {}^b \! \log \sqrt[3]{a^2} = \cdots \)
- \( 1 \)
- \( \frac{3}{2} \)
- \( \frac{5}{3} \)
- \( 2 \)
- \( 3 \)
Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini ada beberapa sifat logaritma yang perlu kamu pahami terlebih dahulu. Dari deret yang diberikan pada soal, diketahui suku pertama \( U_1 = {}^a \! \log b \) dan rasio deretnya \(r = {}^a \! \log b \) sehingga berlaku:
\begin{aligned} S_\infty = \frac{a}{1-r} \Leftrightarrow S_\infty &= \frac{{}^a \! \log b}{1-{}^a \! \log b} \\[8pt] 2 &= \frac{{}^a \! \log b}{{}^a \! \log a-{}^a \! \log b} \\[8pt] 2 &= \frac{{}^a \! \log b}{{}^a \! \log \frac{a}{b}} \\[8pt] 2 \cdot {}^a \! \log \frac{a}{b} &= {}^a \! \log b \\[8pt] {}^a \! \log \left( \frac{a}{b} \right)^2 &= {}^a \! \log b \\[8pt] \left( \frac{a}{b} \right)^2 &= b \\[8pt] a^2 &= b^3 \\[8pt] b &= a^{\frac{2}{3}} \end{aligned}
Dengan demikian, kita peroleh berikut ini:
\begin{aligned} {}^a \! \log b + {}^b \! \log \sqrt[3]{a^2} &= {}^a \! \log a^{\frac{2}{3}} + {}^b \! \log \sqrt[3]{b^3} \\[8pt] &= \frac{2}{3} \cdot {}^a \! \log a + {}^b \! \log b \\[8pt] &= \frac{2}{3} \cdot 1 + 1 \\[8pt] &= \frac{5}{3} \end{aligned}
Jawaban C.